Koeffizienten und Herleitung

In einem Beitrag zu den theoretischen Grundannahmen habe ich dargestellt, welche Merkmale eines Berges in die Messung seiner geografischen Bedeutung („Bergwertung“) einfließen. Hier geht es nun darum, wie sich aus diesen Grundannahmen eine leistungsfähige Berechnungsformel herleiten lässt.
Leistungsfähig ist diese Formel, wenn sie zu sachgerechten Rangreihen von Bergen führt. Was im Einzelfall als sachgerecht gelten kann, wäre kommunikativ zu validieren. Bis jetzt ist die Eignung der Formel an einem Sample von über 1100 Bergen überprüft und in einem sehr engen Kreis von Experten kommunikativ validiert. Leser dieser Seite sind eingeladen mitzuteilen, ob die vorgestellten Rangreihen mit ihrer Wahrnehmung korrespondieren, die sie von der Mächtigkeit der analysierten Berge haben.
Bis dahin erkläre ich, warum welches Merkmal in welcher Weise Eingang in die Formel findet:

1. Der Höhenkoeffizient

Unter „relativer Höhe“ soll die Differenz zwischen der Höhe des Berges und dem tiefsten Punkt im Radius von 30 km verstanden werden.
Dazu wird als TP30 die tiefste Stelle im 30km-Radius des Berges bestimmt. Um aus dem Wert der relativen Höhe in Metern einen Koeffizienten zu machen, muss überlegt werden, wie er in einen Zahlenbereich transformiert werden kann, der seinen Einfluss aus das Gesamtergebnis kontrolliert. Hierzu definiere ich als Norm eine relative Höhe von 2000 m, zu denen die relative Höhe in Beziehung gesetzt ist. Der Höhenkoeffizient soll den Wert 1 annehmen für Berge, die sich genau 2000 m hoch im Radius von 30 km erheben, z.B. das Hohe Licht in den Allgäuer Alpen. Die bisher höchste von mir nachgemessene relative Höhe hat mit 7316 m der 8586 m hohe Kangchendzönga im Himalaya.

Mit der Definition hx = [(H – TP30)/2000]2

… fließt die relative Höhe mit doppeltem Gewicht in die Relevanzmessung ein. Damit streuen die Werte bewusst sehr stark – zwischen 13,4 und Werten knapp über 0. Wenn man möchte, dass sich unter den Top 10 der relevantesten Berge mehrere 8000er befinden, muss dies so angelegt sein.

2. Der Prominenzkoeffizient

„Prominenz“, auch „Schartentiefe“ oder „Schartendifferenz“ genannt, meint den Höhenunterschied, den ich mindestens von einem Berg heruntergehen muss, um auf einen höheren Berg als den zu gelangen, dessen Prominenz bestimmt wird.

Der Prominenzkoeffizient ist hier definiert als: px = [(H – S)/1000]0,5

Für den Prominenzkoeffizienten habe ich einen Wert von 1000 m als Referenz definiert. Demnach setzt die Definition des Koeffizienten die Prominenz eines Berges ins Verhältnis zur Zahl 1000. Berge mit dem Prominenzkoeffizienten 1 sind zum Beispiel der Monte Capanne, höchster Berg Elbas, der Großvenediger, das Matterhorn oder auch die höchste Erhebung der Rax in den Wiener Hausbergen. Der Koeffizient ist als Quadratwurzel so definiert, dass die Werte nicht allzusehr streuen, denn würde die Prominenz linear in die Gesamtwertung einfließen, entstünde eine der Intuition widersprechende überproportionale Gewichtung der Eigenständigkeit. Zweite und dritte Hauptberge einer Hauptkette würden gegenüber Bergen, die Hauptgipfel einer an sich untergeordneten, aber isolierten Gebirgsgruppe sind, zu schwach bewertet. Außerdem wird so möglich, dass Gipfel, die als Nebengipfeln von Hauptbergen oft vom Tal aus als bedeutend und gewaltig erscheinen, nicht überproportional benachteiligt werden. Die Werte streuen so zwischen 0,1 (bei einer Prominenz von 10 m) und knapp 3 (bei der maximalen Prominenz von 8848 m beim Mount Everest).

3. Der Isolationskoeffizient

Die „Isolation“ eines Berges meint seine Alleinherrschaft in einem bestimmten Umkreis. Begrenzt wird dieser Umkreis durch den nächstgelegenen höheren Punkt.
Die Isolation wird in Kilometern gemessen und kann eine riesige Spannbreite von Werten annehmen – von weit unter einem Kilometer bis hin zu mehreren 10.000 km bei den höchsten Bergen der Kontinente. Es macht indes für die Wahrnehmung eines Berges keinen nennenswerten Unterschied, ob ein Berg im Umkreis von 100 oder 10.000 km der höchste ist. So ist die Isolation eher ein theoretisch bedeutsames Maß. Vor diesem Hintergrund ist der Isolations- oder Dominanzkoeffizient hier äußerst vorsichtig definiert.

Als Isolationskoeffizient ist definiert: ix = (I/30)0,1

Als Referenzwert wird ein Radius von 30 km bestimmt, zu dem die Isolation ins Verhältnis gesetzt ist. I/30 ist >1 für Isolationswerte über 30 km und <1 für geringere Radien. Die Wahl der 30 km als Normradius erfolgt analog zur Definition der relativen Höhe. Die Alleinherrschaft in einem Gebiet von 30 km ist auch anschaulich gut als "groß" plausibel zu machen. Um den Einfluss des Koeffizienten auf das Gesamtresultat für kleine und sehr große Werte gut kontrollieren zu können, wurde I/30 einer Wurzelfunktion unterlegt, die der 10. Wurzel entspricht. Die Werte des Isolationskoeffizienten streuen so zwischen Werten von ungefähr 0,5 (für Gipfel mit 100 m Isolation) und knapp 1,9 für den Aconcagua – den Berg mit der höchsten messbaren Isolation auf der Erde – 16.536 km. Für den Mount Everest, für den keine Isolation angegeben werden kann (es keinen höheren Punkt auf der Erde), setze ich den Isolationskoeffizient auf 2.

Die hier zugrundegelegte äußerst geringe Gewichtung der Isolation hat zum einen ihren Sinn in der oben beschriebenen Unfähigkeit des Menschen, große Isolation visuell zu erfassen, und beruht zum anderen auf der Tatsache, dass es äußerst markante Gipfel mit extrem niedriger Isolation gibt, zum Beispiel diverse Felszacken in den Dolomiten oder der Montblanc-Gruppe. Gerade Berge, die nur wenige Meter niedriger sind als die höchsten Gipfel eines Gebirges können durch eine schwache Einflussnahme durch die Isolation adäquat im Relevanzwert abgebildet werden. Ein Beispiel hierfür sind die drei nahezu gleich hohen Gipfel der Tofana bei Cortina d'Ampezzo.

4. Der Reliefkoeffizient

Dieser Koeffizient sorgt dafür, dass die Steilheit eines Berges hinreichend Berücksichtigung findet in der Gesamtbewertung eines Berges. Konkret wird gemessen, wie tief der Berg maximal abfällt im Radius der relativen Höhe des Berges. Diese „maximale Tiefe“ im Nahumfeld wird ins Verhältnis gesetzt zur relativen Höhe des Berges als maximal möglicher Tiefe im Umfeld. So entsteht die Situation, dass besonders steile Berge Werte nahe oder gleich 1 annehmen.

Als Reliefkoeffizient wird definiert: rx = [(H – TPn)/(H – TP30)]1,5

Der Reliefkoeffizient ist minimal potenziert definiert (hoch 1,5), um besonders flache Berge etwas stärker abzuwerten. Ein besonders positiver Effekt ergibt sich für sehr niedrige, aber sehr schroffe Gipfel. Beispiele sind hier Klippengipfel unmittelbar über dem Meer oder Berge wie der Drachenfels oder die Loreley am Rhein, denen es so möglich wird, für ihre geringe Höhe verhältnismäßig hohe Relevanzwerte zu bekommen. Die Werte streuen zwischen 0,01 für sehr flache Mittelgebirgshöhen und 1 für Erhebungen mit einer durchschnittlichen Steilheit > 45 Grad im Radius der relativen Höhe.

5. Die Gipfelflurkoeffizienten

Für die Erscheinung eines Berges ist wesentlich, in welchem Verhältnis seine Höhe zu den regional sonst erreichten Gipfelhöhen steht. Die beiden Gipfelflurkoeffizienten messen, ob und wie stark der Berg durch andere überragt wird.

Als 1. Gipfelflurkoeffizient ist definiert: g1x = [(H – TP30)/(HPn – TP30)]3

Dieser Koeffizient bildet ab, inwiefern ein Berg durch einen in unmittelbarer Nähe befindlichen Berg überragt wird. Hierzu wird die relative Höhe des Berges ins Verhältnis gesetzt zu der im Nahradius vorkommenden relativen Höhe anderer Berge. Als Nahradius wird die bereits bekannte bergabhängige relative Höhe gewählt, innerhalb derer als HPn der höchste Punkt identifizert wird. Dessen Höhendifferenz zu dem bereits an anderer Stelle verwendeten TP30 ist der Nenner dieses Koeffizienten. Das Verhältnis ist 1, wenn der Berg der jeweils höchste im Nahradius ist.

Als 2. Gipfelflurkoeffizient ist definiert: g2x = [(H – TP30)/(HP30 – TP30)]3

Dieser Koeffizient bildet ab, inwiefern ein Berg durch einen im 30-km-Radius befindlichen Berg überragt wird. Während g1x ähnlich wie der Reliefkoeffizient die unmittelbare Nähe des Berges einbezieht, richtet g2x den Blick – wie bei der relativen Höhe praktiziert – auf das 30-km-Umfeld. Der Quotient ist 1, wenn der Berg der jeweils höchste im Umfeld ist. Beide Gipfelflurkoeffizienten werden in dritter Potenz in die Relevanzmessung einbezogen. Das wirkt sich so aus, dass Gipfel besonders benachteiligt werden, die deutlich überragt werden. Ein recht bekanntes Beispiel für den Nutzen des Gipfelflurkoeffizienten g1x ist der Gipfel Hirli in unmittelbarer Nachbarschaft des Matterhorns. Mit einer recht vernünftigen relativen Höhe und einem guten Reliefkoeffizienten kommt der Berg an sich nicht schlecht weg. Dass er aber in unmittelbarer Nähe durch das Matterhorn um knapp 1600 m überragt wird, hätte sich ohne Gipfelflurberücksichtigung nicht abwertend bemerkbar gemacht. Ähnlich verhält es sich in Bezug auf den 30-km-Gipfelflurkoeffizienten g2x mit Bergen, die Inselberge inmitten von Talschaften sind, die sich zwischen hohen Gebirgsgruppen befinden. Solche Berge können relativ hohe Dominanz- und Prominenzwerte erhalten. Erst durch den Vergleich mit der regionalen Gipfelflur ergeben sich hier vernünftige Relationen.

6. Relevanzwert und Punkteanzahl

Als Relevanzwert R eines Berges x ist definiert: Rx = hx * rx * px * ix * g1x * g2x

Nach dieser einfachen Multiplikation aller Koeffizienten ergibt sich ein Produkt, dessen Werte zwischen 10-8 für kleinste Mittelgebirgs- und Tieflanderhebungen und gut 22 für den Mount Everest streuen. Um die extrem streuenden Werte in eine anschauliche Punktwertung zu überführen, ist eine geeignete Umrechnungsfunktion nötig. Seit einer Revision am 3.3.2018 verwende ich hierfür das Produkt einer e-Funktion mit einer Hyperbel. Deren Koeffizienten sind so gewählt, dass bestimmte Zielwerte erreicht werden, die im Blick auf die Anschauung gewählt wurden.

  • Wie bei den Höhenzahlen sollen die Punktzahlen maximal im Bereich von 8000 bis 9000 Punkten liegen.
  • Zugleich soll der mächtigste Berg etwa die 10-fache Punktzahl erhalten wie ein durchschnittlicher Mittelgebirgsberg.
  • Mächtige Berge sollen nach Punkten gegenüber ihrer Höhenzahl nach oben deutlich abweichen können.
  • Der Mittelwert der Punktzahlen soll niedriger sein als der Mittelwert der (absoluten) Höhenzahlen.
  • Für Erhebungen, die sich nur wenige Meter über ihrer Umgebung erheben, soll die Punktzahl in der Größenordnung dieses Höhenunterschieds liegen.

Als Funktion, die diese Umrechnung in überzeugendster Weise löst, hat sich diese hier erwiesen:

f(x) = (-640/(640+g(x))+1)*g(x)

mit g(x) = 2780*(exp(x^0.127)-1).

Als Punkteanzahl P sei somit definiert: Px = f(Rx).

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5 Gedanken zu “Koeffizienten und Herleitung

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